26.10.07

Premiere "Gorillas on the Brink"

Esta noche a las 9pm será la premiere mundial del show "Gorillas on the Brink" por el canal Animal Planet, en el que yo participé como diseñador principal de gráficos. También es el primer show en HD (Alta Definición) en el que he trabajado. Más tarde actualizaré este post con un video de la apertura del show.

Actualización: Pueden ver la apertura en esta página.

El documental trata sobre las matanzas de gorilas en Africa central. Aparentemente, los rebeldes hallan que matar 5-8 gorilas machos les trae más prensa internacional que matar 40 seres humanos. Pero el matar un gorila macho equivale a matar varias hembras y juveniles, porque quedan desprotegidos. Por tanto, la población del gorila montañez ha decaído muchísimo, quedando sólo unos 700 especímenes (si tengo la cifra correcta, pero por ahí anda la cosa).

El programa completo es sumamente impactante, y de verdad no lo digo porque yo haya trabajado en él. De hecho, yo sólo diseñé los gráficos, pero llegué a ver el show en sí por primera vez casi en sus etapas finales.

Bueno, si alguno de ustedes lo llega a ver, por favor me comparten sus comentarios.

Here's hoping for an Emmy!! ;)

A&R

18.10.07

Gödel y su Teorema de Incompletitud, Indice

Aquí les ofrezco un índice de "Gödel y su Teorema de Incompletitud", escrito por mi hermano de sangre y en fe, Antonio (Tony) Rodríguez.


Este tema en particular me ha dado mucho en qué pensar en estos días. No pienso compartir mis acostumbradas reflexiones porque quiero permitir que mis ideas sobre el tema maduren un poco más; no obstante, estoy convencido de que las implicaciones de Gödel son masivamente relevantes a los asuntos sobre intercambio de ideas (como el tema de la apologética), particularmente para que nuestras expectativas de sistemas ajenos a los nuestros sean realistas.

Se los debo... por ahora, sigo pensando.

A&R

15.10.07

Gödel y su Teorema de Incompletitud (IV y último)

Recalcando los puntos del fascículo anterior, Gödel ha demostrado cómo traducir todo lo expresable en el abecedario de PM por la vía numérica: Se dividen todos los números en dos clases: los números que expresan formulas bien formadas (no necesariamente verdaderas), las cuales llamamos números FBF, y los números que no las expresan. En forma analógica al idioma español, los números FBF pueden considerarse como enunciados con valor falso o verdadero, mientras que los números no-FBF no tienen sentido alguno en español. Decir "=)0" sería como decir la frase "ascuzrero sabandarú", lo cual no tiene sentido, y mucho menos valor de verdad alguno.

También dijimos que existe una serie de operaciones matemáticas que permite crear más números FBF a partir de unos cuantos básicos. Estas operaciones siempre crean números FBF más largos que los argumentos provistos a la operación.

Ahora nos toca dividir a los números FBF en dos grupos: los números que expresan una verdad demostrable en PM, y aquellos que no. A los primeros los llamaremos números PM. Y en este punto se crea un paralelismo absoluto con el sistema PM, porque para cada hilera de símbolos en PM que PM demuestre como verdadero, existe un número PM que lo representa (claro está, ese número sería gigantesco, pero sigue siendo un número). El número 72900, el cual demostramos en el fascículo anterior, es un número PM, ya que la fórmula que representa "0=0" es derivable dentro de PM.

No obstante, existe una diferencia crucial entre los números FBF y los números PM; las reglas de inferencia de PM a veces producen hileras de símbolos que son más cortos que sus argumentos. Esto significa que al aplicar una operación que corresponda a una regla de inferencia de PM utilizando números PM como argumentos, es posible obtener un número PM más corto. Por tanto, no es posible descartar números FBF que fueran menores que todos los demostrados hasta un punto de la inmensa ramificación desarrollada, porque siempre es posible volver a un número FBF que no se haya demostrado si es PM o no.

Sin embargo, existe una diferencia crucial entre los números FBF y los números PM; las reglas de inferencia de PM a veces producen hileras de símbolos que son más cortos que sus argumentos. Por ejemplo:
((P -> Q) ^ P) |- Q
Como se puede observar, los argumentos (P -> Q y P) aplicados a la regla de modus ponens tienen mayor longitud que el resultado (Q). De esa misma manera, el número correspondiente a la combinación de argumentos (digamos 647,935, por poner un ejemplo), cuando se le aplica la operación matemática correspondiente a modus ponens resultaría en un número
menor que el del argumento, algo así como MP(647935) = 128.

Entonces, al aplicar una operación matemática que corresponda a una regla de inferencia de PM, utilizando números PM como argumentos, es posible obtener un número PM menor. Por tanto, no es posible clasificar un numero FBF como número PM ó no simplemente por ser menor que otro número FBF que también sea número PM; siempre será posible volver a un número FBF menor que no se haya clasificado como PM o no-PM.

Los números PM forman una clase de números igual de importantes y definibles dentro del sistema PM, al igual que los números FBF, Fibonacci, cuadrados, etc. Pero no son igualmente identificables como los mencionados; si sabes que 16 es un número cuadrado, y luego determinas que 25 es otro, sabes ya que no existe un número cuadrado en medio de 16 y 25. Pero si intentaras determinar si se trata de un número PM, no existiría esa garantía. Por ejemplo, es posible que el resultado de una operación matemática correspondiente a una regla de inferencia de PM, aplicado a un número PM gigantesco como argumento, resulte en un número sumamente pequeño. Por ejemplo, OP(9,345,539,356,192) = 19.

Como los números PM son clasificables dentro del sistema PM, Gödel intenta la gran hazaña: hacer que el sistema se auto-observe. Gödel crea un número FBF astronómicamente largo, el cual afirma, luego de traducido a símbolos del abecedario de PM, que "Un tal número g no es un número PM." Lo interesante es que el número g... ¡es precisamente el número que creó Gödel!!

Veamos qué implica este enunciado. Simplemente dice que:
* g no es un número PM

...lo cual significa que:

* g no es demostrable dentro del sistema PM

...y considerando que g es el mismo número que encasilla el enunciado:

* Este enunciado no es demostrable dentro del sistema PM.

...ó mejor dicho:

* Este enunciado es indemostrable. (A esto lo llamaremos KG.)

Pero, ¿cómo es posible que se logre introducir a g dentro de sí mismo? Permítanme remontarme a la primera parte de este viaje a través de Gödel, en el que hablábamos sobre números cuya descripción necesitaría de 30 sílabas. ¿Recuerda que logramos reducir su descripción a solamente 23 sílabas? En sí, lo que hizo Gödel fue describir el número, en vez de escribir el número en su completitud.

Entonces, estamos forzados a hacernos la siguiente pregunta: ¿Será cierto que KG es indemostrable? Volvamos al Credo de los Matemáticos, y a la premisa original que enfatizó Russell al querer desarrollar el sistema PM: "Nada falso es demostrable dentro de PM" (consistencia). Si PM no fuera consistente, entonces permitiría que cualquier enunciado verificado por las reglas de PM fuese falso. Y si partimos de una premisa falsa, pone en duda cualquier cosa derivada de esa premisa. Aún más, permitiría que cualquier enunciado pueda demostrarse como verdadero, ya que al partir de una premisa falsa, ¡se pudiera demostrar cualquier cosa!! Seamos generosos, y otorguémosle al sistema de PM el beneficio de la duda, y por el momento asumamos que sí es consistente. Por tanto, asumiremos que nunca demuestra enunciados falsos.

Entonces, ¿qué sucedería si KG fuese demostrable dentro de PM? Digamos que así es, que KG es demostrable, recalcando que KG no está de acuerdo con esa premisa; a ciencia cierta, está gritando a los cielos "¡¡No soy demostrable!!". Si la premisa es cierta, entonces KG es falsa. No es posible que un enunciado sea tanto demostrable como no-demostrable. Pero si KG es demostrable, entonces KG es falso. ¡¡Y esto es precisamente lo que queríamos evitar!! El sistema deja de ser consistente, ¡porque acaba de demostrar algo que es falso!

Si queremos garantizar la consistencia, debemos rechazar la premisa de que KG es demostrable. Entonces, KG no es demostrable. ¡Pero eso es precisamente lo que está diciendo KG, que no es demostrable! Llegamos a dos verdades acá: (I) KG no es demostrable, y (2) KG es verdadero.

Pero esto va completamente en contra del Credo de los Matemáticos. KG es verdadero, pero KG no es demostrable. Lo fascinante es que KG no es indemostrable y verdadero, sino que es indemostrable porque es verdadero.

Y si algo verdadero no es demostrable dentro de un sistema particular, dicho sistema deberá considerarse incompleto. De aquí es de donde el teorema de incompletitud recibe su nombre.



FIN

8.10.07

Gödel y su Teorema de Incompletitud ( III )

El sistema PM, en la demostración de verdades matemáticas creado por Russell, expone una serie de reglas de inferencia, con las cuales se pueden derivar otras verdades a partir de verdades descubiertas anteriormente. Cada regla funciona como una caja negra, dentro de la cual se introducen una o más verdades como entrada, y se obtiene una verdad como salida. Lo interesante de las reglas expuestas en PM es que son puramente tipográficas; no requieren de un agente pensante que las aplique, sino que manipulan símbolos que representan verdades de manera completamente mecánica. Para los fines de estas reglas, es como si las verdades que sirven de entrada no tuviesen significado alguno.

No obstante, a la misma vez, estas reglas deben ser formuladas de tal manera que solamente pueda resultar una verdad cuando se utilizan verdades como argumento a la regla. Así es que Russell, quien diseñara estas reglas, debió tomar en cuenta tanto el significado de los argumentos provistos como la veracidad del resultado, para asegurarse que la regla funcionaría de manera correcta cuando fuese utilizada por una entidad que no supiera el significado de los argumentos.

Por ejemplo, utilizando lógica simbólica, el símbolo v se utiliza para el concepto de disyunción, mejor conocido como la conjunción "ó" en nuestra gramática. Entonces, una regla de inferencia pudiera decir:

De cualquier fórmula "P v Q" se puede derivar la fórmula "Q v P".

Si uno se encontrara con una proposición que enuncie, "Mi gato está hambriento, o mi perro está dormido", se pudiera inferir la verdad "Mi perro está dormido, o mi gato está hambriento". Esta regla tal como está descrita acá no está incluida en PM, pero la presentamos porque demuestra que una regla de inferencia puede limitarse a manipular símbolos y cambiarlos de orden de manera organizada para obtener un resultado que está de acuerdo con la intención del diseñador de la regla.

Basado en esto, se pudiera considerar a los axiomas del sistema como verdades de 0va generación (porque no fueron "generadas", sino asumidas como verdad fundamental), y las reglas de inferencia aplicadas a estas verdades producirían verdades de 1ra generación. Las verdades de 2da generación vendrían de estas reglas, utilizando como argumentos las verdades tanto de 1ra como de 0va generación, y así sucesivamente. El cuerpo infinito de los teoremas de PM está completamente definido por estos axiomas, las semillas del árbol de PM, y las reglas de inferencia, que permiten crear nuevos teoremas a partir de teoremas anteriores.

La esperanza de Russell con este sistema era que toda verdad generada por este sistema fuera de por sí verdad (no hay falsedades generadas por el sistema), y a la vez, que todas las verdades de PM fuesen generadas (no existe verdad que no sea generada por este medio). La primera esperanza es la de consistencia, y la segunda de completitud. Estas esperanzas se asemejan mucho al contenido del Credo de los Matemáticos, pero con una diferencia: en donde el Credo habla de demostración sin decir de dónde proviene, Russell quiere que signifique que existe tal demostración dentro de PM.

Gödel, aunque respetaba mucho la labor de Russell y Whitehead, creía que PM no podía crear una correspondencia perfecta entre verdades matemáticas y verdades dentro de PM; aún más, creía que era imposible llegar a ese punto a través de cualquier método. ¿Y cómo llega a esta creencia? Gödel llegó a ver uno de esos bucles extraños dentro del sistema sin significado, un sistema que se limitaba a manipular símbolos sin imponer un significado a esos símbolos. Para traer ese bucle extraño a la visibilidad pública, debía hacer una traducción del sistema desde un grupo de símbolos hasta un sistema puramente numérico.

Una de las inspiraciones de Gödel es la serie de números de Fibonacci. La serie se genera a partir de dos números (1 y 2), y cada elemento que le sigue es simplemente la suma de los dos elementos anteriores. La serie se parece a esto (al menos en sus primeros elementos):

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . . .

Como puede verse, es similar al sistema PM en cuanto a su elaboración, partiendo de unas semillas y con una regla de inferencia que permite obtener el elemento subsiguiente.

Gödel utiliza este fundamento, y considera posible crear una correspondencia entre los axiomas de PM y algunos números específicos, y de igual forma, considera crear una correspondencia entre las reglas de inferencia de PM y las operaciones matemáticas. Por ejemplo, si se puede crear el teorema Q partiendo de los teoremas P y S utilizando la regla de inferencia I5, se pudiera también crear un número q que sería el resultado de aplicar una operación llamada i5 a otros números p y s, y estas conformarían una correspondencia perfecta.

Para lograr esto, se deben establecer algunas reglas de traducción, las cuales le permitiría expresar cualquier expresión simbólica en PM como un número, y de esa misma manera, convertir un número en una expresión simbólica en PM.

El abecedario simbólico de PM consta a penas de una docena de símbolos (y aunque luego se utilizan otros símbolos, todos son definidos en base a estos 12, así que conceptualmente los símbolos adicionales no son necesarios). A cada uno de éstos símbolos básicos, Gödel le asigna un número entero pequeño (y vale decir que esta asignación es completamente arbitraria).

Entonces, para expresar hileras de símbolos básicos (para el caso de la traducción, estas "hileras" y las "formulas en PM" son sinónimos), se toma cada símbolo de izquierda a derecha, y se reemplaza por el número correspondiente. Luego, se tomarían esos números, y se los usaría como exponentes para números primos sucesivos, creando así un numero entero mayor. De esta manera, aunque los números correspondientes a los símbolos del abecedario básico serían arbitrarios, los números asignados a la hilera de símbolos no lo serían.

Para demostrar esto, supongamos que al símbolo "0" le corresponde el número 2, y que al símbolo "=" le corresponde el número 6. Entonces, para expresar la fórmula "0=0", el código sería 2, 6, 2. Estos números son utilizados como exponentes para los primeros tres números primos (2, 3 y 5) de la siguiente manera:

2^2 * 3^6 * 5^2 = 72,900

Entonces, el número que corresponde a la fórmula "0=0" es 72900. De esa misma manera, tomando el número 72,900, se lo podría descomponer a sus factores primos, tomar los exponentes, y obtener la fórmula que le corresponde.

Ahora bien, esto no significa que cualquier número corresponde a una fórmula bien formada (valga la cacofonía). Por ejemplo, un número cuya traducción resultase en una fórmula "(=0=)" no debe de considerarse como bien formada, mientras que "0+0=ss0", aunque es falsa, sí se considera bien formada. Por tanto, separamos a todos los números dentro de dos clases, los que corresponden a fórmulas bien-formadas (números FBF) y los demás.

Gödel utiliza esto para establecer reglas de formación a partir de las cuales, dado un número FBF, se puedan crear otros números FBF. Y acá vemos un paralelismo con el sistema de números Fibonacci, en el cual a partir de un grupo pequeño de semillas (1 y 2 en un caso, y números FBF en el otro), podemos extraer una planta con gran cantidad de ramificaciones. Cabe destacar que la simplicidad de Fibonacci no se mantiene, ya que consiste únicamente de una regla de inferencia (obtener el siguiente término sumando los dos términos anteriores), mientras que la cantidad de reglas de formación es enorme.

Otro aspecto que debe recalcarse es que los números de Fibonacci siempre van en ascenso (cada número es mayor que el anterior), y así también sucede con las reglas de formación. Por tanto, de la forma en que podemos asegurar que 53 no es un número Fibonacci, mientras que 55 sí lo es, podemos así mismo decir que cierto número A no es FBF, dado que ya hemos aplicado todas las reglas de formación a los números FBF menores que A, y todos han resultado con números FBF mayores que A; no es posible que regresemos a A por medio de sucesivas aplicaciones de las reglas de formación.

Lo interesante es observar cómo estos números FBF forman una agrupación en el conjunto de números tan válidos como los números Fibonacci, o los números cuadrados, o los números primos, en que es un conjunto al cual un número pertenece, o bien no pertenece. Es una distinción en base a teoría de números. Y aún más interesante es que se puede jugar con estas reglas de formación y números FBF, y jamás darse cuenta de su paralelismo con hileras de símbolos de PM. Estos números FBF son relativamente fáciles de definir, y es una de las nociones entra las que PM está diseñada para estudiar. Pero, observamos que PM estudiaría las reglas de formación propiamente establecidas dentro de ella misma, tal como si se usara un microscopio para descubrir fallas en sus propios lentes.

Y aún queda más por descubrir. . .


[Continuará...]

1.10.07

Gödel y su Teorema de Incompletitud (II)

Retocando los puntos finales del fascículo anterior, Bertrand Russell quiso desarrollar un sistema matemático con el cual se pudiera demostrar cualquier verdad matemática. Si era verdad, se podría demostrar utilizando PM, y todo lo demostrable por PM era verdad. El auto-referencialismo era el principal punto débil en contra de esta meta, así que fue detenido por un sistema de tipos, el cual prohibe que un conjunto se contenga a sí mismo como elemento. Este sistema está detallado en los volúmenes de su obra magna, Principia Mathematica. Llamaremos PM al sistema mismo, mientras la publicación retendrá el nombre de Principia Mathematica; de esta manera, eliminaremos ambigüedades entre lo publicado como libro y lo establecido como norma y regla por la publicación.

Hemos mencionado que PM es sumamente detallado; apenas al inicio del segundo volumen se llega a la conclusión de que 1 + 1 = 2 (o escrito en la notación de PM, "s0 + s0 = ss0" , en donde "s" significa "sucesor de", o "el numero que le sigue a"). La principal complicación de PM es que parte desde un grupo de símbolos muy pequeño, pero mientras más avanza, va reemplazando un grupo de símbolos por símbolos solitarios para hacer las demostraciones más comprensibles, algo así como una multiplicación es simplemente una repetición de sumas de la misma cantidad. (37 * 4 = 37 + 37 + 37 + 37). Los símbolos avanzados son muy útiles para acortar (!) la longitud de algunas demostraciones, pero siempre se deberá recordar que es una manera corta para escribir algo sumamente largo. Y se entiende que cuando se introducen conceptos avanzados, es más simple introducir conceptos aún más avanzados a partir de ellos; cuando tenemos la multiplicación definida, crear conceptos como "al cuadrado", "numero primo", etc., se nos facilita mucho más.

También hay que mencionar algo sobre la personalidad de los matemáticos, a quienes les encanta descubrir patrones sobre los números, y cuando encuentran un patrón, usualmente no la consideran como coincidencia, sino que piensan que debe de haber una razón por el cual existe, y viven para descubrir esa prueba que describe la verdad sobre ese patrón. Un matemático famoso, Paul Erdos, decía que "un matemático es un aparato que produce teoremas si le dan café". Y aunque muy gracioso, ese comentario tiene un ápice de verdad, aunque sería apropiado cambiarlo un poco: Un matemático es un aparato que produce teoremas si le proveen de conjeturas.

Sigamos por un momento la travesía de un teorema, desde su conjetura hasta su finalización. Uno de los más simples es el que establece como hipótesis "Los números primos son infinitos". No pretenderemos demostrarlo con la rigurosidad que exige una prueba matemática, sino que lo haremos muy a la ligera, para no traumatizar a los que tienen años sin pensar en álgebra, o los que se desmayan al levantar un libro de cálculo.

¿Y de qué forma probaremos que los números primos son infinitos? Primero, establecemos lo que es un número primo: un numero que no puede ser dividido entre otro número menor que él, exceptuando el uno, y sin dejar residuo. Por ejemplo, 27 es divisible entre 3 y por tanto no es primo, mientras que 37 no es divisible entre ningún número menor (de nuevo, sin contar el uno). Si es posible que un numero sea el resultado de una multiplicación (que no involucre multiplicar por uno), se considera compuesto, y todo numero compuesto tiene una descomposición a números primos únicos. Por ejemplo, 27 = 3 x 3 x 3, en el que todos los números a la derecha del signo de igualdad son primos.

Como verán, una prueba empírica no nos serviría; probar todos los números en existencia para ver sin son primos no es factible en lo absoluto, porque no hay manera de llegar a contemplar todos los números en existencia. La única manera en que llegaremos a alguna parte es suponiendo lo contrario de nuestra hipótesis: "Los números primos no son infinitos". Esto implica que debe haber un número primo máximo, el cual llamaremos P. Por ahora no nos importa el valor de P; simplemente la idea de que existe es suficiente para auxiliar la contradicción de nuestra hipótesis.

¿Y entonces qué hacemos, ya que tenemos a P? Bueno, juguemos con los números primos que se encuentren entre 2 y P, multiplicándolos todos. 2 x 3 x 5 x 7 x. . . y así, hasta llegar a P; a ese resultado lo llamaremos Q, y como verán, es mucho más grande que P, pero como es el resultado de una multiplicación de números primos, no puede ser primo de por sí. Pero, ¿qué pasa con el número Q + 1?

¿Será divisible entre 2? No, porque Q es divisible entre 2, y por tanto (Q + 1)/2 tiene como residuo 1. ¿Será divisible entre 3? No, porque Q es divisible entre 3, y por tanto (Q + 1)/ 3 tiene como residuo 1.

Y así seguiremos, intentando dividirlo por cada uno de los primos que tenemos, hasta llegar a P, el cual también nos deja un residuo de 1. Entonces, Q no tiene descomposición a números primos, ¡y por tanto debe ser primo! Pero un momento... ¡habíamos establecido que P era el número primo mayor, y ahora resulta que Q es mayor que P!

Entramos a una contradicción, y como llegamos a él partiendo desde nuestra contra-hipótesis, significa que la hipótesis original debe ser cierta.

Y así es como llegamos al Credo de los Matemáticos:

- X es verdad porque X tiene una prueba.

- X es verdad, y por tanto X tiene una prueba.

En las matemáticas, este Credo es irrefutable. La primera parte del credo establece que la prueba sirve como garantía de su verdad, y la segunda establece que donde hay un patrón verídico, hay una razón demostrable detrás de él. Esta última no garantiza que descubriremos esa prueba, pero sí establece su existencia y que puede ser descubierta por alguien.

Dudar de ese Credo sería imposible para un matemático. Dudar la primera parte significaría que es posible probar algo que es falso, lo cual derrumbaría el concepto de prueba de prueba en sí; de igual forma, dudar de la segunda significa que existen patrones excepcionalmente perfectos que continúan hacia el infinito sin razón de ser o explicación discernible. Einstein dijo una vez "Dios no juega dados con el universo", y lo que quiso decir es que nada en la naturaleza sucede sin causa.

Existe una enorme cantidad de problemas matemáticos cuya prueba aún no se ha descubierto, aunque se han dedicado siglos a su estudio, y muchos matemáticos son tan resolutos que consideran que la ausencia de esa prueba por tanto tiempo es evidencia de su ausencia, y siguiendo el Credo, mantienen la equivalencia entre falsedad y la falta de una prueba.

La genialidad de Gödel está en establecer, partiendo de PM, no solamente una autoreferencia en donde se suponía que no debía aparecer, sino una autoreferencia que, por su propia naturaleza, establece lo contrario a la segunda parte del Credo, el cual dice "X es verdad pero no puede existir una prueba de ella dentro de PM".


[Continuará...]