8.10.07

Gödel y su Teorema de Incompletitud ( III )

El sistema PM, en la demostración de verdades matemáticas creado por Russell, expone una serie de reglas de inferencia, con las cuales se pueden derivar otras verdades a partir de verdades descubiertas anteriormente. Cada regla funciona como una caja negra, dentro de la cual se introducen una o más verdades como entrada, y se obtiene una verdad como salida. Lo interesante de las reglas expuestas en PM es que son puramente tipográficas; no requieren de un agente pensante que las aplique, sino que manipulan símbolos que representan verdades de manera completamente mecánica. Para los fines de estas reglas, es como si las verdades que sirven de entrada no tuviesen significado alguno.

No obstante, a la misma vez, estas reglas deben ser formuladas de tal manera que solamente pueda resultar una verdad cuando se utilizan verdades como argumento a la regla. Así es que Russell, quien diseñara estas reglas, debió tomar en cuenta tanto el significado de los argumentos provistos como la veracidad del resultado, para asegurarse que la regla funcionaría de manera correcta cuando fuese utilizada por una entidad que no supiera el significado de los argumentos.

Por ejemplo, utilizando lógica simbólica, el símbolo v se utiliza para el concepto de disyunción, mejor conocido como la conjunción "ó" en nuestra gramática. Entonces, una regla de inferencia pudiera decir:

De cualquier fórmula "P v Q" se puede derivar la fórmula "Q v P".

Si uno se encontrara con una proposición que enuncie, "Mi gato está hambriento, o mi perro está dormido", se pudiera inferir la verdad "Mi perro está dormido, o mi gato está hambriento". Esta regla tal como está descrita acá no está incluida en PM, pero la presentamos porque demuestra que una regla de inferencia puede limitarse a manipular símbolos y cambiarlos de orden de manera organizada para obtener un resultado que está de acuerdo con la intención del diseñador de la regla.

Basado en esto, se pudiera considerar a los axiomas del sistema como verdades de 0va generación (porque no fueron "generadas", sino asumidas como verdad fundamental), y las reglas de inferencia aplicadas a estas verdades producirían verdades de 1ra generación. Las verdades de 2da generación vendrían de estas reglas, utilizando como argumentos las verdades tanto de 1ra como de 0va generación, y así sucesivamente. El cuerpo infinito de los teoremas de PM está completamente definido por estos axiomas, las semillas del árbol de PM, y las reglas de inferencia, que permiten crear nuevos teoremas a partir de teoremas anteriores.

La esperanza de Russell con este sistema era que toda verdad generada por este sistema fuera de por sí verdad (no hay falsedades generadas por el sistema), y a la vez, que todas las verdades de PM fuesen generadas (no existe verdad que no sea generada por este medio). La primera esperanza es la de consistencia, y la segunda de completitud. Estas esperanzas se asemejan mucho al contenido del Credo de los Matemáticos, pero con una diferencia: en donde el Credo habla de demostración sin decir de dónde proviene, Russell quiere que signifique que existe tal demostración dentro de PM.

Gödel, aunque respetaba mucho la labor de Russell y Whitehead, creía que PM no podía crear una correspondencia perfecta entre verdades matemáticas y verdades dentro de PM; aún más, creía que era imposible llegar a ese punto a través de cualquier método. ¿Y cómo llega a esta creencia? Gödel llegó a ver uno de esos bucles extraños dentro del sistema sin significado, un sistema que se limitaba a manipular símbolos sin imponer un significado a esos símbolos. Para traer ese bucle extraño a la visibilidad pública, debía hacer una traducción del sistema desde un grupo de símbolos hasta un sistema puramente numérico.

Una de las inspiraciones de Gödel es la serie de números de Fibonacci. La serie se genera a partir de dos números (1 y 2), y cada elemento que le sigue es simplemente la suma de los dos elementos anteriores. La serie se parece a esto (al menos en sus primeros elementos):

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . . .

Como puede verse, es similar al sistema PM en cuanto a su elaboración, partiendo de unas semillas y con una regla de inferencia que permite obtener el elemento subsiguiente.

Gödel utiliza este fundamento, y considera posible crear una correspondencia entre los axiomas de PM y algunos números específicos, y de igual forma, considera crear una correspondencia entre las reglas de inferencia de PM y las operaciones matemáticas. Por ejemplo, si se puede crear el teorema Q partiendo de los teoremas P y S utilizando la regla de inferencia I5, se pudiera también crear un número q que sería el resultado de aplicar una operación llamada i5 a otros números p y s, y estas conformarían una correspondencia perfecta.

Para lograr esto, se deben establecer algunas reglas de traducción, las cuales le permitiría expresar cualquier expresión simbólica en PM como un número, y de esa misma manera, convertir un número en una expresión simbólica en PM.

El abecedario simbólico de PM consta a penas de una docena de símbolos (y aunque luego se utilizan otros símbolos, todos son definidos en base a estos 12, así que conceptualmente los símbolos adicionales no son necesarios). A cada uno de éstos símbolos básicos, Gödel le asigna un número entero pequeño (y vale decir que esta asignación es completamente arbitraria).

Entonces, para expresar hileras de símbolos básicos (para el caso de la traducción, estas "hileras" y las "formulas en PM" son sinónimos), se toma cada símbolo de izquierda a derecha, y se reemplaza por el número correspondiente. Luego, se tomarían esos números, y se los usaría como exponentes para números primos sucesivos, creando así un numero entero mayor. De esta manera, aunque los números correspondientes a los símbolos del abecedario básico serían arbitrarios, los números asignados a la hilera de símbolos no lo serían.

Para demostrar esto, supongamos que al símbolo "0" le corresponde el número 2, y que al símbolo "=" le corresponde el número 6. Entonces, para expresar la fórmula "0=0", el código sería 2, 6, 2. Estos números son utilizados como exponentes para los primeros tres números primos (2, 3 y 5) de la siguiente manera:

2^2 * 3^6 * 5^2 = 72,900

Entonces, el número que corresponde a la fórmula "0=0" es 72900. De esa misma manera, tomando el número 72,900, se lo podría descomponer a sus factores primos, tomar los exponentes, y obtener la fórmula que le corresponde.

Ahora bien, esto no significa que cualquier número corresponde a una fórmula bien formada (valga la cacofonía). Por ejemplo, un número cuya traducción resultase en una fórmula "(=0=)" no debe de considerarse como bien formada, mientras que "0+0=ss0", aunque es falsa, sí se considera bien formada. Por tanto, separamos a todos los números dentro de dos clases, los que corresponden a fórmulas bien-formadas (números FBF) y los demás.

Gödel utiliza esto para establecer reglas de formación a partir de las cuales, dado un número FBF, se puedan crear otros números FBF. Y acá vemos un paralelismo con el sistema de números Fibonacci, en el cual a partir de un grupo pequeño de semillas (1 y 2 en un caso, y números FBF en el otro), podemos extraer una planta con gran cantidad de ramificaciones. Cabe destacar que la simplicidad de Fibonacci no se mantiene, ya que consiste únicamente de una regla de inferencia (obtener el siguiente término sumando los dos términos anteriores), mientras que la cantidad de reglas de formación es enorme.

Otro aspecto que debe recalcarse es que los números de Fibonacci siempre van en ascenso (cada número es mayor que el anterior), y así también sucede con las reglas de formación. Por tanto, de la forma en que podemos asegurar que 53 no es un número Fibonacci, mientras que 55 sí lo es, podemos así mismo decir que cierto número A no es FBF, dado que ya hemos aplicado todas las reglas de formación a los números FBF menores que A, y todos han resultado con números FBF mayores que A; no es posible que regresemos a A por medio de sucesivas aplicaciones de las reglas de formación.

Lo interesante es observar cómo estos números FBF forman una agrupación en el conjunto de números tan válidos como los números Fibonacci, o los números cuadrados, o los números primos, en que es un conjunto al cual un número pertenece, o bien no pertenece. Es una distinción en base a teoría de números. Y aún más interesante es que se puede jugar con estas reglas de formación y números FBF, y jamás darse cuenta de su paralelismo con hileras de símbolos de PM. Estos números FBF son relativamente fáciles de definir, y es una de las nociones entra las que PM está diseñada para estudiar. Pero, observamos que PM estudiaría las reglas de formación propiamente establecidas dentro de ella misma, tal como si se usara un microscopio para descubrir fallas en sus propios lentes.

Y aún queda más por descubrir. . .


[Continuará...]

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