1.10.07

Gödel y su Teorema de Incompletitud (II)

Retocando los puntos finales del fascículo anterior, Bertrand Russell quiso desarrollar un sistema matemático con el cual se pudiera demostrar cualquier verdad matemática. Si era verdad, se podría demostrar utilizando PM, y todo lo demostrable por PM era verdad. El auto-referencialismo era el principal punto débil en contra de esta meta, así que fue detenido por un sistema de tipos, el cual prohibe que un conjunto se contenga a sí mismo como elemento. Este sistema está detallado en los volúmenes de su obra magna, Principia Mathematica. Llamaremos PM al sistema mismo, mientras la publicación retendrá el nombre de Principia Mathematica; de esta manera, eliminaremos ambigüedades entre lo publicado como libro y lo establecido como norma y regla por la publicación.

Hemos mencionado que PM es sumamente detallado; apenas al inicio del segundo volumen se llega a la conclusión de que 1 + 1 = 2 (o escrito en la notación de PM, "s0 + s0 = ss0" , en donde "s" significa "sucesor de", o "el numero que le sigue a"). La principal complicación de PM es que parte desde un grupo de símbolos muy pequeño, pero mientras más avanza, va reemplazando un grupo de símbolos por símbolos solitarios para hacer las demostraciones más comprensibles, algo así como una multiplicación es simplemente una repetición de sumas de la misma cantidad. (37 * 4 = 37 + 37 + 37 + 37). Los símbolos avanzados son muy útiles para acortar (!) la longitud de algunas demostraciones, pero siempre se deberá recordar que es una manera corta para escribir algo sumamente largo. Y se entiende que cuando se introducen conceptos avanzados, es más simple introducir conceptos aún más avanzados a partir de ellos; cuando tenemos la multiplicación definida, crear conceptos como "al cuadrado", "numero primo", etc., se nos facilita mucho más.

También hay que mencionar algo sobre la personalidad de los matemáticos, a quienes les encanta descubrir patrones sobre los números, y cuando encuentran un patrón, usualmente no la consideran como coincidencia, sino que piensan que debe de haber una razón por el cual existe, y viven para descubrir esa prueba que describe la verdad sobre ese patrón. Un matemático famoso, Paul Erdos, decía que "un matemático es un aparato que produce teoremas si le dan café". Y aunque muy gracioso, ese comentario tiene un ápice de verdad, aunque sería apropiado cambiarlo un poco: Un matemático es un aparato que produce teoremas si le proveen de conjeturas.

Sigamos por un momento la travesía de un teorema, desde su conjetura hasta su finalización. Uno de los más simples es el que establece como hipótesis "Los números primos son infinitos". No pretenderemos demostrarlo con la rigurosidad que exige una prueba matemática, sino que lo haremos muy a la ligera, para no traumatizar a los que tienen años sin pensar en álgebra, o los que se desmayan al levantar un libro de cálculo.

¿Y de qué forma probaremos que los números primos son infinitos? Primero, establecemos lo que es un número primo: un numero que no puede ser dividido entre otro número menor que él, exceptuando el uno, y sin dejar residuo. Por ejemplo, 27 es divisible entre 3 y por tanto no es primo, mientras que 37 no es divisible entre ningún número menor (de nuevo, sin contar el uno). Si es posible que un numero sea el resultado de una multiplicación (que no involucre multiplicar por uno), se considera compuesto, y todo numero compuesto tiene una descomposición a números primos únicos. Por ejemplo, 27 = 3 x 3 x 3, en el que todos los números a la derecha del signo de igualdad son primos.

Como verán, una prueba empírica no nos serviría; probar todos los números en existencia para ver sin son primos no es factible en lo absoluto, porque no hay manera de llegar a contemplar todos los números en existencia. La única manera en que llegaremos a alguna parte es suponiendo lo contrario de nuestra hipótesis: "Los números primos no son infinitos". Esto implica que debe haber un número primo máximo, el cual llamaremos P. Por ahora no nos importa el valor de P; simplemente la idea de que existe es suficiente para auxiliar la contradicción de nuestra hipótesis.

¿Y entonces qué hacemos, ya que tenemos a P? Bueno, juguemos con los números primos que se encuentren entre 2 y P, multiplicándolos todos. 2 x 3 x 5 x 7 x. . . y así, hasta llegar a P; a ese resultado lo llamaremos Q, y como verán, es mucho más grande que P, pero como es el resultado de una multiplicación de números primos, no puede ser primo de por sí. Pero, ¿qué pasa con el número Q + 1?

¿Será divisible entre 2? No, porque Q es divisible entre 2, y por tanto (Q + 1)/2 tiene como residuo 1. ¿Será divisible entre 3? No, porque Q es divisible entre 3, y por tanto (Q + 1)/ 3 tiene como residuo 1.

Y así seguiremos, intentando dividirlo por cada uno de los primos que tenemos, hasta llegar a P, el cual también nos deja un residuo de 1. Entonces, Q no tiene descomposición a números primos, ¡y por tanto debe ser primo! Pero un momento... ¡habíamos establecido que P era el número primo mayor, y ahora resulta que Q es mayor que P!

Entramos a una contradicción, y como llegamos a él partiendo desde nuestra contra-hipótesis, significa que la hipótesis original debe ser cierta.

Y así es como llegamos al Credo de los Matemáticos:

- X es verdad porque X tiene una prueba.

- X es verdad, y por tanto X tiene una prueba.

En las matemáticas, este Credo es irrefutable. La primera parte del credo establece que la prueba sirve como garantía de su verdad, y la segunda establece que donde hay un patrón verídico, hay una razón demostrable detrás de él. Esta última no garantiza que descubriremos esa prueba, pero sí establece su existencia y que puede ser descubierta por alguien.

Dudar de ese Credo sería imposible para un matemático. Dudar la primera parte significaría que es posible probar algo que es falso, lo cual derrumbaría el concepto de prueba de prueba en sí; de igual forma, dudar de la segunda significa que existen patrones excepcionalmente perfectos que continúan hacia el infinito sin razón de ser o explicación discernible. Einstein dijo una vez "Dios no juega dados con el universo", y lo que quiso decir es que nada en la naturaleza sucede sin causa.

Existe una enorme cantidad de problemas matemáticos cuya prueba aún no se ha descubierto, aunque se han dedicado siglos a su estudio, y muchos matemáticos son tan resolutos que consideran que la ausencia de esa prueba por tanto tiempo es evidencia de su ausencia, y siguiendo el Credo, mantienen la equivalencia entre falsedad y la falta de una prueba.

La genialidad de Gödel está en establecer, partiendo de PM, no solamente una autoreferencia en donde se suponía que no debía aparecer, sino una autoreferencia que, por su propia naturaleza, establece lo contrario a la segunda parte del Credo, el cual dice "X es verdad pero no puede existir una prueba de ella dentro de PM".


[Continuará...]

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