Gödel y su Teorema de Incompletitud (II)

Retomando los puntos finales del fascículo anterior, Bertrand Russell quiso desarrollar un sistema con el cual se pudiera demostrar cualquier verdad matemática. Si era verdad, se podría demostrar utilizando PM, y todo lo demostrable por PM sería verdad. El auto-referencialismo era el principal punto débil en contra de este objetivo, así que fue detenido por un sistema de tipos, el cual prohibe que un conjunto se contenga a sí mismo como elemento. Este sistema está detallado en los volúmenes de su obra magna, Principia Mathematica. Llamaremos PM al sistema mismo, mientras la publicación retendrá el nombre de Principia Mathematica; de esta manera, eliminaremos ambigüedades entre lo publicado como libro y lo establecido como norma y regla por la publicación.

Hemos mencionado que el sistema PM es sumamente detallado. A penas al inicio del segundo volumen se llega a la conclusión de que 1 + 1 = 2 (o escrito en la notación de PM, "s0 + s0 = ss0" , en donde "s" significa "sucesor de", o "el numero que le sigue a"). La principal complicación de PM es que parte desde un conjunto de símbolos muy pequeño, pero mientras más avanza, reemplaza un grupo de símbolos por símbolos solitarios para lograr que las demostraciones sean más comprensibles; algo así como que una multiplicación es simplemente una repetición de sumas de la misma cantidad. (37 x 4 = 37 + 37 + 37 + 37). Los símbolos avanzados son muy útiles para poder acortar (!) la longitud de algunas demostraciones, pero siempre se deberá recordar que es una forma corta para escribir algo sumamente largo. Se sobre-entiende que cuando se introducen conceptos avanzados, se hace más simple introducir conceptos aún más avanzados a partir de ellos. Cuando tenemos la multiplicación definida, crear conceptos como "al cuadrado", "numero primo", etc., se nos facilita mucho más.

También debemos mencionar algo acerca de la personalidad de los matemáticos, a quienes les encanta descubrir patrones entre los números, y cuando encuentran dicho patrón, usualmente no la consideran como coincidencia, sino que piensan que debe haber una razón por la cual existe; viven para descubrir esa prueba que describe la verdad sobre ese patrón. Un matemático famoso, Paul Erdos, decía que "un matemático es un aparato que produce teoremas, mientras le brinden café". Y aunque sea muy gracioso, ese comentario tiene un ápice de verdad, aunque sería apropiado modificarlo un poco: Un matemático es un aparato que produce teoremas, mientras le provean conjeturas. 

Por ahora, viajemos por la travesía de un teorema, desde su conjetura hasta su finalización. Uno de los teoremas más simples es el que establece como hipótesis "Los números primos son infinitos". No pretenderemos demostrarlo con la rigurosidad que exige una prueba matemática, sino que lo daremos por sentado, para no traumatizar a los que tienen años sin pensar en álgebra, ni los que se desmayan al levantar un libro de cálculo.

¿Y de qué forma probaremos que los números primos son infinitos? Primero, establecemos lo que es un número primo: un numero que no puede ser dividido entre otro número menor que él, exceptuando el número uno, y sin dejar residuo. Por ejemplo, 27 es divisible entre 3 y por tanto no es primo, mientras que 37 no es divisible entre ningún número menor (de nuevo, sin contar el número uno). Si es posible que un número sea el resultado de una multiplicación — que no involucre multiplicar por uno — se considera un número compuesto, y todo numero compuesto puede descomponerse hasta números primos únicos. Por ejemplo, 27 = 3 x 3 x 3, en el que todos los números a la derecha del signo de igualdad son primos.

Como podrán observar, una prueba empírica no nos serviría; probar con todos los números en existencia para ver sin son primos no es factible en lo absoluto, porque no habría manera de calcular con todos los números en existencia. La única manera en que llegaremos a alguna parte es suponiendo lo contrario de nuestra hipótesis: "Los números primos no son infinitos". Esto implica que debe haber un número primo máximo, el cual llamaremos P. Por ahora no nos importa el valor de P; simplemente la idea de que existe es suficiente para auxiliar en la falsificación de nuestra hipótesis.

¿Y entonces, qué hacemos, ya que tenemos a P? Bueno, juguemos con los números primos que se encuentren entre 2 y P, multiplicándolos todos: 2 x 3 x 5 x 7 x. . . y así, hasta llegar a P; a ese resultado lo llamaremos Q, y como verán, es mucho más grande que P, pero como es el resultado de una multiplicación de números primos, no puede ser primo de por sí. Pero, ¿y qué pasa con el número Q + 1?

¿Será divisible entre 2? No, porque Q es divisible entre 2, y por tanto (Q + 1)/2 tiene como residuo 1. ¿Será divisible entre 3? No, porque Q es divisible entre 3, y por tanto (Q + 1)/ 3 tiene como residuo 1.

Y así continuaremos, intentando dividirlo por cada uno de los primos que tenemos, hasta llegar a P, el cual también nos deja un residuo de 1. Entonces, Q no tiene descomposición a números primos, ¡y por tanto debe ser primo! Pero un momento... habíamos establecido que P era el número primo mayor, ¡y ahora resulta que Q es mayor que P!

Nos encontramos con una contradicción, y como llegamos a él partiendo desde nuestra contra-hipótesis, significa que la hipótesis original debe ser verdadera.

Y así es como llegamos al Credo de los Matemáticos:

- X es verdad porque X tiene una prueba.

- X es verdad, y por tanto X tiene una prueba.

En las matemáticas, este Credo es irrefutable. La primera parte del credo establece que la prueba sirve como garantía de su verdad, y la segunda establece que donde exista un patrón verídico, también existe una razón demostrable detrás de él. Esta última no garantiza que descubriremos dicha prueba, pero sí establece su existencia, y también que puede ser descubierta por alguien.

Dudar de ese Credo sería imposible para un matemático. Dudar de la primera parte significaría que es posible probar algo que es falso, lo cual derrumbaría el concepto de prueba en sí. De igual manera, dudar de la segunda significa que existen patrones excepcionalmente perfectos que continúan hacia el infinito sin razón de ser ni explicación discernible. Einstein dijo una vez "Dios no juega a los dados con el universo." Lo que quiso decir es que nada en la naturaleza sucede sin causa.

Existe una enorme cantidad de problemas matemáticos cuya prueba aún no se ha descubierto, aunque se han dedicado siglos a su estudio, y muchos matemáticos son tan resolutos que consideran que la ausencia de esa prueba durante tanto tiempo es evidencia de su ausencia, y siguiendo el Credo, mantienen la correspondencia entre una falta de prueba y su falsedad.

La genialidad de Gödel está en establecer, partiendo de PM, no solamente una autoreferencia en donde se suponía que no debía aparecer, sino una autoreferencia que, por su propia naturaleza, establece lo contrario a la segunda parte del Credo, el cual propone que "X es verdadera, sin embargo no puede existir una prueba de ella dentro de PM".

[Continuará...]