Gödel y su Teorema de Incompletitud ( I )

Edito y publico una serie de escritos sobre Gödel y su teorema de incompletitud, un tema verdaderamente fascinante, y que en mi opinión ayuda a expandir nuestro marco de pensamientos, al igual que nuestro proceder en interacciones. Los escritos son autoría de mi propio hermano mayor, Antonio (Tony) Rodríguez.

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En el libro "I Am A Strange Loop" de Douglas Hofstadter, él define un bucle extraño como un supuesto ascenso a través de niveles jerárquicos, en el que al final te das cuenta de que sólo llegaste al punto inicial; el bucle está cerrado, aunque daría la impresión de que se está "escalando" con cada paso que se da.

Por ejemplo, piense en una caja de carton que se quiera cerrar. Se cierra la tapa de la caja de tal manera que encaje, y a la vez cada tapa se soporta tanto por otra tapa, como también es soporte para otra tapa. No existen ninguna de estas tapas que sea superior a la otra; sin embargo, si partes desde una, y tomas la siguiente en "ascenso", llegarás de vuelta a la tapa original.

De esa misma manera, en el campo musical es posible producir una secuencia que te hace creer que estás ascendiendo una escala, aunque bajo inspección estricta se puede notar que sólo se repite la misma serie, y que el "ascenso" es por tanto falso.

Tambien debemos mencionar al artista M.C. Escher, quien posee una habilidad magistral para confundir a los observadores a través de sus dibujos. En uno de los ejemplos más simples — y más vistos, al igual que gastados — se refleja este fenómeno del bucle extraño. El bucle progresa desde la imágen hacia el artista, el cual se coloca en un plano superior al de su imagen. Pero esa jerarquía es violada cuando uno nota que la imagen también es el dibujante de su artista… ¡cada mano está por encima de la otra!

No obstante, todos los bucles mencionados han sido bromas a nuestros sentidos, las cuales son, hasta cierto punto, no-confiables. Existen ilusiones ópticas y auditivas que juegan con nuestros sentidos. Pero, ¿qué tal el idioma, que suele ser más concreto y fiable?

Primero establezcamos el concepto del nombre de un número como la manera más corta (en sílabas) para describir a dicho número. Por ejemplo, pudiéramos describir al número 777,777 como "setecientos setenta y siete mil, setecientos setenta y siete", lo cual utiliza 21 sílabas (y aquí establezco que la frase "setenta y" se trata de cuatro sílabas, y no la reduzco a tres sílabas "setenti", como se hace popularmente). Se pudiera reducir al punto de decir "setecientos setenta y siete por mil y uno", frase que termina en 15 sílabas, una reducción de seis sílabas. Pudiésemos reducirla aún más, pero para nuestros fines es más importante avanzar al punto siguente.

Establezcamos un número que llamaremos q, el cual describiremos como "el número más pequeño que requiere de treinta sílabas en su descripción". Por ahora, nos da igual el valor de q; lo que sí parece claro es que debe existir un número bastante alto como para que su descripción requiera de treinta sílabas. El problema se presenta cuando establecemos que nuestra premisa original sobre la naturaleza de q contiene menos de treinta sílabas (veinte y tres, para ser exacto). Por tanto, esa descripción no requiere de 30 sílabas, sino apenas de 23.

O bien, utilicemos el concepto de números interesantes, partiendo desde cero, la identidad aditiva; luego uno, la unidad e identidad multiplicativa; luego el dos, único número primo par; luego el 3, primer número primo impar; luego el 4, primer número compuesto (2*2); y así sucesivamente. ¿Habría algún número que podamos calificar como el primer número no-interesante? Si pudiéramos, ¿acaso esa no sería una propiedad interesante de por sí — el de ser el primer número no-interesante?

Otro ejemplo sería el de una persona que te dice "No tengo palabras para expresar lo mucho que te agradezco esto o aquello" y sin embargo, acaba de expresarlo con trece palabras (y ni hablemos de lo que deja esto entendido acerca de su falta de vocabulario).

Estos son vicios del idioma que hablamos, porque no existe una idea concreta y absoluta de lo que significa una sílaba, ni de cómo calificar algo como interesante, ni tampoco el no tener palabras pero a la vez expresarlo con cierta cantidad de palabras. ¿Qué tal si llegásemos a una ciencia y una metodología que no tiene dudas en cuanto a los sentidos? Las cosas son, o no son, y ya. ¿Sería posible crear un bucle extraño dentro de ellas?

A Bertrand Russell le molestaba una serie de paradojas creadas a principios del siglo XX, las cuales jugaban con la matemática de manera "deshonrosa." Considere por un momento el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento; llamemos a este conjunto S. Ahora bien, ¿se encuentra S dentro de sí mismo? Si lo está, entonces no debería de estarlo; si no lo está, entonces sí debería estar

Otra forma de ver esto es la historia del barbero de un pueblo. A los hombres de ese pueblo naturalmente les suele crecer la barba, y algunos se afeitan ellos mismos, mientras que otros visitan al barbero para que lo afeiten. El barbero solamente afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan ellos mismos. Entonces, ¿quién afeita al barbero? Si el barbero se afeita a sí mismo, rompe con la regla establecida de que solamente afeita a los que no se afeitan ellos mismos; si no se afeita él mismo, entonces él debería de afeitarse. (Esta version de la paradoja me encanta demasiado)

¿Y qué hizo Russell para deshacerse de estas paradojas? Estableció una metodología matemática que prohibe la auto-referencia, una jerarquía de niveles matemáticos que no permiten manipulaciones hacia niveles superiores desde donde se encuentra un enunciado particular, y a la vez establece que un argumento en un nivel no puede confundirse con uno en otro nivel. Podemos decir que establece una jerarquía de tipos, en el cual es necesario hablar del tipo de argumento y no solamente de la operación en sí.

Para aclarar esto, traigamos a la consideración al conjunto S como el conjunto-1 de todos los conjuntos-0 que no se contienen a sí mismos. Como S no es un conjunto-0, sino un conjunto-1, ya no existe la paradoja de que si S está o no está dentro de sí mismo. Así también podemos denominar que el barbero sea un ciudadano-1, y que el reglamento es que él afeita a todos los ciudadanos-0 que no se afeitan a sí mismos. Así, ya no hay problemas en preguntar si el barbero se afeita a sí mismo, porque su reglamento no impica paradoja alguna.

Russell entiende que este sistema es en verdad magnífico, pero realmente haría falta una formalización. Entre Russell y otro caballero de nombre Alfred North Whitehead, establecen un fundamento matemático absoluto, el cual prohibe las paradojas. Este fundamento es la Principia Mathemática, una obra de tres volúmenes (publicadas en 1910, 1912 y 1913), que trata acerca de la teoría de conjuntos, los numeros cardinales, los numeros ordinales y los numeros reales. Un cuarto volúmen trataría el tema de la geometría, pero fue abandonado debido a lo largo de los tres volúmenes anteriores.

Y verdaderamente eran largos y tediosos. En la página 360 del primer volúmen, colocó una demostración del teorema 54.43 "Dos conjuntos de cardinalidad 1 son disjuntos si su unión presenta cardinalidad 2", en donde "cardinalidad" es simplemente el número de elementos que contiene el conjunto, y "disjunto" significa que no poseen elementos en común, y "unión" se refiere a que un conjunto contiene los elementos de ambos conjuntos. Cada uno de estos conceptos es definido con anterioridad, y el teorema tiene una nota más abajo: "Utilizaremos esta definición para establecer que 1+1=2 cuando hayamos definido la operación de suma." ¿Y cuándo establecen que 1+1=2 ? En su teorema 110.643, en el volumen II pag. 86. Esto demuestra el tremendo detalle que deseaban proveer a este fundamento y a esta jerarquía.

Y justo ahí es donde llega Gödel a dañarlo todo.

[Continuará. . .]