26.9.07

Gödel y su Teorema de Incompletitud ( I )

Edito y publico una serie de escritos sobre Gödel y su teorema de incompletitud, un tema verdaderamente fascinante, y que en mi opinión ayuda a expandir nuestro marco de pensamientos, al igual que nuestro proceder en interacciones. Los escritos son autoría de mi propio hermano mayor, Antonio (Tony) Rodríguez.

----

En el libro "I am a Strange Loop" de Douglas Hofstadter, él define un bucle extraño como un supuesto ascenso en niveles jerárquicos, en el que al final te das cuenta de que sólo llegas al punto inicial; el bucle está cerrado, aunque daría la impresión de que se está "escalando" con cada paso que se da. Como ejemplo, piense en una caja de carton que se quiera cerrar. Se cierra la tapa de la caja de tal manera que encajen, y a la vez cada tapa se soporta tanto por otra tapa, como también es soporte para otra tapa. No hay ninguna de esas tapas que sea superior, pero si partes desde una, y tomas la próxima en "ascenso", llegarás de vuelta a tu tapa original.

De esa misma manera, en el campo musical es posible una secuencia de notas en la cual crees que estás subiendo una escala, aunque bajo inspección estricta uno puede notar que sólo se repite la misma serie, y que el "ascenso" es por tanto falso. [Tony se refiere a la paradoja de Shepard, una ilusión auditiva de un ascenso perpetuo de frecuencia; pueden escuchar un mp3 acá. -A&R]

Tambien hay que mencionar al artista M.C. Escher, quién posee una habilidad magistral para confundir a los observadores con sus dibujos. A la derecha, uno de los ejemplos más simples (y más vistos y gastados), en donde se refleja este fenómeno del bucle extraño. El bucle progresa desde la imágen hacia el artista, el cual se coloca en un plano superior al de su imagen. Pero esa jerarquía es violada cuando uno nota que la imagen es el dibujante de su artista; cada mano está por encima de la otra!

No obstante, todos los bucles mencionados han sido juegos de nuestros sentidos, los cuales son hasta cierto punto no-confiables. Existen ilusiones ópticas y auditivas que juegan con nuestros sentidos. Pero, ¿qué tal el idioma, que suele ser más concreto y fiable?

Primero establezcamos el concepto del nombre de un número, como la manera más corta (en sílabas) para describirlo. Por ejemplo, podemos describir el número 777,777 como "setecientos setenta y siete mil, setecientos setenta y siete", que tiene 21 sílabas (y aquí establezco que la frase "setenta y" se trata de cuatro sílabas, y no la reduzco a tres sílabas "setenti", como se hace popularmente). Se pudiera reducir al punto de decir "setecientos setenta y siete por mil y uno", frase que termina en 15 sílabas, una reducción de seis sílabas. Pudiésemos reducirla aún más, pero es más importante llegar al punto siguente.

Establezcamos un número que llamaremos q, el cual describiremos como "el número más pequeño que requiere de treinta sílabas en su descripción". Por ahora, nos da igual el valor de q; lo que sí parece claro es que debe existir un número bastante alto como para que su descripción requiera de treinta sílabas. El problema entra cuando establecemos que nuestra premisa original sobre la naturaleza de q contiene menos de treinta sílabas (veinte y tres, para ser exacto). Por tanto, esa descripción no requiere de 30 sílabas, sino apenas de 23.

O bien, utilicemos el concepto de números interesantes, partiendo desde cero, la identidad aditiva; luego a uno, la unidad e identidad multiplicativa; luego el dos, único número primo par; luego el 3, primer número primo impar; luego el 4, primer número compuesto (2*2); y así sucesivamente. ¿Habría algún número que podamos calificar como el primer número no-interesante? Si pudiéramos, ¿acaso esa no sería una propiedad interesante de por sí (el de ser el primer número no-interesante)?

Otro ejemplo sería el de la persona que te dice "No tengo palabras para expresar lo que te agradezco esto o aquello" y sin embargo, acaba de expresarlo con doce palabras (y de paso, el hecho habla sobre su falta de vocabulario).

Estos son vicios del idioma que hablamos, porque no existe una idea concreta y absoluta de lo que significa una sílaba, ni de cómo calificar algo como interesante, o el no tener palabras pero a la vez expresándolo con una cantidad de palabras. ¿Qué tal si llegásemos a una ciencia y una metodología que no tiene dudas en cuanto a los sentidos? Las cosas son, o no son, y ya. ¿Sería posible crear un bucle extraño dentro de ellas?

A Bertrand Russell le molestaba una serie de paradojas creadas a principios del siglo XX, los cuales jugaban con la matemática de manera "deshonrosa". Considere por un momento el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento; llamemos a este conjunto S. Ahora bien, ¿se encuentra S dentro de sí mismo? Si lo está, entonces no debería de estarlo; si no lo está, entonces debería estarlo.

Otra forma de ver esto es la historia del barbero de un pueblo. A los hombres de ese pueblo naturalmente les suele crecer la barba, y algunos se afeitan ellos mismos, mientras que otros visitan al barbero para que lo afeiten. El barbero solamente afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan ellos mismos. Entonces, ¿quién afeita al barbero? Si el barbero se afeita a sí mismo, rompe con la regla establecida de que solamente afeita a los que no se afeitan ellos mismos; si no se afeita él mismo, entonces él debería de afeitarse. (como ven, esta version de la paradoja me encanta. . .)

¿Y qué hace Russell para deshacerse de estas paradojas? Decide establecer una metodología matemática que prohibe la auto-referencia; establece una jerarquía de niveles matemáticos que no permiten manipulaciones a niveles superiores desde donde se encuentra un enunciado particular, y a la vez establece que un argumento en un nivel no puede confundirse con uno en otro nivel. Podemos decir que establece una jerarquía de tipos, en el cual es necesario hablar del tipo de argumento y no solamente de la operación en sí.

Para aclarar esto, traigamos a la consideración el conjunto S como el conjunto-1 de todos los conjuntos-0 que no se contienen a sí mismos. Como S no es un conjunto-0, sino un conjunto-1, ya no existe la paradoja de que si S está o no está dentro de sí mismo. Así también podemos denominar que el barbero sea un ciudadano-1, y que su reglamento es que él afeita a todos los ciudadanos-0 que no se afeitan a sí mismos. Así, ya no hay problemas en preguntar si el barbero se afeita a sí mismo, porque su reglamento no impica paradoja alguna.

Bueno, Russell cree que este sistema es en verdad magnífico, pero realmente haría falta una formalización. Entre Russell y otro caballero de nombre Alfred North Whitehead, establecen un fundamento matemático absoluto, el cual prohibe las paradojas. Este fundamento es la Principia Mathemática, una obra de tres volúmenes (publicadas en 1910, 1912 y 1913), que trata sobre la teoría de conjuntos, los numeros cardinales, los numeros ordinales y los numeros reales. Un cuarto volúmen trataría el tema de la geometría, pero fue abandonado debido a lo largo de los tres volúmenes anteriores.

Y verdaderamente eran largos y tediosos; para la página 360 del primer volúmen, existe una demostración del teorema 54.43 "Dos conjuntos de cardinalidad 1 son disjuntos si su unión presenta cardinalidad 2", en donde "cardinalidad" es simplemente el número de elementos que contiene el conjunto, y "disjunto" significa que no poseen elementos en común, y "unión" se refiere a que un conjunto contiene los elementos de ambos conjuntos. Cada uno de estos conceptos es definido con anterioridad, y el teorema tiene una nota más abajo: "Usaremos esta definición para establecer que 1+1=2 cuando hayamos definido la operación de suma." ¿Y cuándo establecen que 1+1=2? En su teorema 110.643, en el volumen II pag. 86. Esto es muestra del tremendo detalle que deseaban proveer a este fundamento y a esta jerarquía.

Y justo ahí es donde entra Gödel a dañarlo todo.


[Continuará. . .]

No comments: