Gödel y su Teorema de Incompletitud (IV y último)

Recalcando los puntos del fascículo anterior, Gödel ha demostrado cómo traducir todo lo expresable en el abecedario de PM utilizando números. Para realizar esto, se dividen todos los números entre dos clases: los números que expresan fórmulas bien formadas (no necesariamente verdaderas), las cuales llamamos números FBF, y los números que no las expresan. En forma analógica al idioma español, los números FBF pueden considerarse como enunciados con valor falso o verdadero, mientras que los números no-FBF no tienen sentido alguno. Decir "=)0" sería como pronunciar las palabras "ascuzrero sabandarú," lo cual no tiene sentido, y mucho menos valor de verdad alguno.

También dijimos que existe una serie de operaciones matemáticas que permite crear más números FBF a partir de unos cuantos básicos. Estas operaciones siempre crean números FBF más largos que los argumentos provistos.

Ahora nos toca dividir los números FBF en sí entre dos grupos: los números que expresan una verdad demostrable dentro de PM, y aquellos que no. A los primeros los llamaremos números PM. Y en este punto se crea un paralelismo absoluto con el sistema PM, porque para cada hilera de símbolos en PM que PM en sí demuestre como verdadero, existe un número PM que lo representa — claro está, dicho número sería gigantesco, pero sigue siendo un número). El número 72,900 — el cual ya demostramos en el fascículo anterior — es un número PM, ya que la fórmula que representa "0=0" es derivable dentro de PM.

No obstante, existe una diferencia crucial entre los números FBF y los números PM; las reglas de inferencia de PM a veces producen hileras de símbolos que son más cortos que sus argumentos. Esto significa que al aplicar una operación que corresponda a una regla de inferencia de PM utilizando números PM como argumentos, es posible obtener un número PM más corto. Por tanto, no es posible descartar números FBF menores que todos los demostrados hasta un punto de la inmensa ramificación que resulte, porque siempre será posible regresar a un número FBF que no se haya demostrado si es PM o no.

Sin embargo, existe una diferencia crucial entre los números FBF y los números PM; las reglas de inferencia de PM a veces producen hileras de símbolos que son más cortos que sus argumentos. Por ejemplo:

((P - Q) ^ P) |- Q

Como se puede observar, los argumentos (P - Q y P) aplicados a la regla de modus ponens tienen mayor longitud que el resultado (Q). De esa misma manera, el número correspondiente a la combinación de argumentos (digamos 647,935, por poner un ejemplo), cuando se le aplica la operación matemática correspondiente a modus ponens, resultaría en un número menor que el del argumento, algo así como MP(647935) = 128.

Entonces, al aplicar una operación matemática que corresponda a una regla de inferencia de PM, utilizando números PM como argumentos, será posible obtener un número PM menor. Por tanto, no es posible clasificar un numero FBF como número PM ó no simplemente por ser menor que otro número FBF que también sea número PM; siempre será posible regresar a un número FBF menor que no se haya clasificado como PM o no-PM.

Los números PM forman una clase de números igual de importantes y posibles de definir dentro del sistema PM, al igual que los números FBF, Fibonacci, cuadrados, etc. Sin embargo, no son igualmente identificables como los mencionados. Si sabes que 16 es un número cuadrado, y luego determinas que 25 es otro, ya sabes que no existe un número cuadrado entre 16 y 25. Pero si intentaras determinar si se trata de un número PM, no existiría esa garantía. Por ejemplo, es posible que el resultado de una operación matemática correspondiente a una regla de inferencia de PM, aplicado a un número PM gigantesco como argumento, resulte en un número sumamente pequeño. Por ejemplo, OP(9,345,539,356,192) = 19.

Como los números PM son clasificables dentro del sistema PM, Gödel intenta la gran hazaña: lograr que el sistema se auto-observe. Para hacer esto, Gödel crea un número FBF astronómicamente largo, el cual afirma, luego de traducido a símbolos del abecedario de PM, que "Tal número g no es un número PM." Lo interesante es que el número g... ¡es precisamente el número que creó Gödel!

Veamos qué implica este enunciado. Simplemente que:

* g no es un número PM

...lo cual significa que:

* g no es demostrable dentro del sistema PM

...y considerando que g es el mismo número que encasilla el enunciado:

* Este enunciado no es demostrable dentro del sistema PM.

...ó mejor dicho:

* Este enunciado es indemostrable. (A esto lo llamaremos KG.)

Pero, ¿cómo es posible que se logre introducir a g dentro de sí mismo? Permítanme remontarme a la primera parte de este viaje a través del hallazgo de Gödel, en el que hablábamos acerca de números cuya descripción necesitaría de 30 sílabas. ¿Recuerda que logramos reducir su descripción a solamente 23 sílabas? En sí, lo que hizo Gödel fue describir el número, en vez de escribir el número en su completitud.

Entonces, nos vemos forzados a hacernos la siguiente pregunta: ¿Será cierto que KG es indemostrable? Volvamos al Credo de los Matemáticos, y a la premisa original que enfatizó Russell al desarrollar el sistema PM: "Nada falso es demostrable dentro de PM" (consistencia). Si PM no fuera consistente, entonces permitiría que cualquier enunciado verificado por las reglas de PM fuese falso. Y si partimos de una premisa falsa, esto coloca en duda cualquier cosa derivada de esa premisa. Aún más, permitiría que cualquier enunciado pueda demostrarse como verdadero, ya que al partir de una premisa falsa, ¡se pudiera demostrar cualquier cosa! Seamos generosos, y otorguémosle al sistema de PM el beneficio de la duda, y por el momento asumamos que sí es consistente. Por tanto, asumiremos que nunca demuestra enunciados falsos.

Entonces, ¿qué sucedería si KG fuese demostrable dentro de PM? Digamos que así es, que KG es demostrable, recalcando que KG no está de acuerdo con esa premisa. A ciencia cierta, está gritando a los cielos "¡No soy demostrable!". Si la premisa es cierta, entonces KG es falsa. No es posible que un enunciado sea tanto demostrable como no-demostrable. Pero si KG es demostrable, entonces KG es falso. ¡Y esto es precisamente lo que queríamos evitar! ¡El sistema deja de ser consistente, porque acaba de demostrar algo que es falso!

Si queremos garantizar la consistencia, debemos rechazar la premisa de que KG es demostrable. Entonces, KG no es demostrable. ¡Pero eso es precisamente lo que está diciendo KG, que no es demostrable! Llegamos a dos verdades acá: (I) KG no es demostrable, y (2) KG es verdadero.

Pero esto va completamente en contra del Credo de los Matemáticos. KG es verdadero, pero KG no es demostrable. Lo fascinante es que KG no es indemostrable y verdadero, sino que es indemostrable porque es verdadero.

Y si algo verdadero no es demostrable dentro de un sistema particular, dicho sistema deberá considerarse incompleto. De aquí es de donde el teorema de incompletitud recibe su famoso nombre.